Exercice 1

2021, sujet 0

Question 1

Déterminer la taille et la hauteur de l'arbre binaire suivant :

Question 2

On décide de numéroter en binaire les nœuds d'un arbre binaire de la façon suivante :

• la racine correspond à 1 ;
• la numérotation pour un fils gauche s'obtient en ajoutant le chiffre 0 à droite au numéro de son père ;
• la numérotation pour un fils droit s'obtient en ajoutant le chiffre 1 à droite au numéro de son père ;

Par exemple, dans l'arbre ci-dessous, on a utilisé ce procédé pour numéroter les nœuds A, B, C, E et F .

1. Dans l'exemple précédent, quel est le numéro en binaire associé au nœud G ?
2. Quel est le nœud dont le numéro en binaire vaut 13 en décimal ?
3. En notant h la hauteur de l'arbre, sur combien de bits seront numérotés les nœuds les plus en bas ?
4. Justifier que pour tout arbre de hauteur h et de taille n ≥ 2, on a : h ≤ n ≤ 2h − 1.

Question 3
Un arbre binaire est dit complet si tous les niveaux de l'arbre sont remplis.

On décide de représenter un arbre binaire complet par un tableau de taille n + 1, où n est la taille de l'arbre, de la façon suivante :

• La racine a pour indice 1 ;
• Le fils gauche du nœud d'indice i a pour indice 2 × i ;
• Le fils droit du nœud d'indice i a pour indice 2 × i + 1 ;
• On place la taille n de l'arbre dans la case d'indice 0

Répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer le tableau qui représente l'arbre binaire complet de l'exemple précédent.
2. On considère le père du nœud d'indice i avec i ≥ 2. Quel est son indice dans le tableau ?

Question 4

On se place dans le cas particulier d'un arbre binaire de recherche complet où les nœuds contiennent des entiers et pour lequel la valeur de chaque noeud est supérieure à celles des noeuds de son fils gauche, et inférieure à celles des noeuds de son fils droit.

Écrire une fonction recherche ayant pour paramètres un arbre arbre et un élément element. Cette fonction renvoie True si element est dans l'arbre et False sinon. L'arbre sera représenté par un tableau comme dans la question précédente. corrigé

Corrigé

merci à G.Lassus

Exercice 2

2021, Métropole sujet 1, exercice 1

Dans cet exercice, les arbres binaires de recherche ne peuvent pas comporter plusieurs fois la même clé. De plus, un arbre binaire de recherche limité à un nœud a une hauteur de 1. On considère l'arbre binaire de recherche représenté ci-dessous (figure 1), où val représente un entier :

1.a Donner le nombre de feuilles de cet arbre et préciser leur valeur (étiquette).

1.b Donner le sous arbre-gauche du nœud 23.

1.c Donner la hauteur et la taille de l'arbre.

1.d Donner les valeurs entières possibles de val pour cet arbre binaire de recherche.

On suppose, pour la suite de cet exercice, que val est égal à 16.

2. On rappelle qu'un parcours infixe depuis un nœud consiste, dans l'ordre, à faire un parcours infixe sur le sous arbre-gauche, afficher le nœud puis faire un parcours infixe sur le sous-arbre droit.
Dans le cas d'un parcours suffixe, on fait un parcours suffixe sur le sous-arbre gauche puis un parcours suffixe sur le sous-arbre droit, avant d'afficher le nœud.

a. Donner les valeurs d'affichage des nœuds dans le cas du parcours infixe de l'arbre.
b. Donner les valeurs d'affichage des nœuds dans le cas du parcours suffixe de l'arbre.

3. On considère la classe Noeud définie de la façon suivante en Python :

a. Représenter l'arbre construit suite à l'exécution de l'instruction suivante :

racine = Noeud(18)
racine.insere_tout([12, 13, 15, 16, 19, 21, 32, 23])

b. Écrire les deux instructions permettant de construire l'arbre de la figure 1. On rappelle que le nombre val est égal à 16.

c. On considère l'arbre tel qu'il est présenté sur la figure 1. Déterminer l'ordre d'exécution des blocs (repérés de 1 à 3) suite à l'application de la méthode insere(19) au nœud racine de cet arbre.

4. Écrire une méthode recherche(self, v) qui prend en argument un entier v et renvoie la valeur True si cet entier est une étiquette de l'arbre, False sinon.

corrigé

Exercice 3

2021, Métropole Candidats Libres 2, exercice 3

On rappelle qu'un arbre binaire est composé de nœuds, chacun des nœuds possédant éventuellement un sous-arbre gauche et éventuellement un sous-arbre droit. Un nœud sans sous-arbre est appelé feuille. La taille d'un arbre est le nombre de nœuds qu'il contient ; sa hauteur est le nombre de nœuds du plus long chemin qui joint le nœud racine à l'une des feuilles. Ainsi la hauteur d'un arbre réduit à un nœud, c'est-à-dire la racine, est 1.

Dans un arbre binaire de recherche, chaque nœud contient une clé, ici un nombre entier, qui est :

• strictement supérieure à toutes les clés des nœuds du sous-arbre gauche ;
• strictement inférieure à toutes les clés des nœuds du sous-arbre droit.

Un arbre binaire de recherche est dit « bien construit » s'il n'existe pas d'arbre de hauteur inférieure qui pourrait contenir tous ses nœuds.

On considère l'arbre binaire de recherche ci-dessous.

1.a. Quelle est la taille de l'arbre ci-dessus ?

1.b. Quelle est la hauteur de l'arbre ci-dessus ?

2. Cet arbre binaire de recherche n'est pas « bien construit ». Proposer un arbre binaire de recherche contenant les mêmes clés et dont la hauteur est plus petite que celle de l'arbre initial.

3. Les classes Noeud et Arbre ci-dessous permettent de mettre en œuvre en Python la structure d'arbre binaire de recherche. La méthode insere permet d'insérer récursivement une nouvelle clé.

class Noeud :

    def __init__(self, cle):
        self.cle = cle
        self.gauche = None
        self.droit = None

    def insere(self, cle):
        if cle < self.cle :
            if self.gauche == None :
                self.gauche = Noeud(cle)
            else :
                self.gauche.insere(cle)
        elif cle > self.cle :
            if self.droit == None :
                self.droit = Noeud(cle)
            else :
                self.droit.insere(cle)

class Arbre :

    def __init__(self, cle):
        self.racine = Noeud(cle)

    def insere(self, cle):
        self.racine.insere(cle)

Donner la représentation de l'arbre codé par les instructions ci-dessous.

a = Arbre(10)
a.insere(20)
a.insere(15)
a.insere(12)
a.insere(8)
a.insere(4)
a.insere(5)

4. Pour calculer la hauteur d'un arbre non vide, on a écrit la méthode ci-dessous dans la classe Noeud.

def hauteur(self):
    if self.gauche == None and self.droit == None:
        return 1
    if self.gauche == None:
        return 1 + self.droit.hauteur()
    elif self.droit == None:
        return 1 + self.gauche.hauteur()
    else:
        hg = self.gauche.hauteur()
        hd = self.droit.hauteur()
        if hg > hd:
            return hg + 1
        else:
            return hd + 1

Écrire la méthode hauteur de la classe Arbre qui renvoie la hauteur de l'arbre.

5. Écrire les méthodes taille des classes Noeud et Arbre permettant de calculer la taille d'un arbre. corrigé Méthode de la classe :

6. On souhaite écrire une méthode bien_construit de la classe Arbre qui renvoie la valeur True si l'arbre est « bien construit » et False sinon.

On rappelle que la taille maximale d'un arbre binaire de recherche de hauteur est 2^h-1.

.

6.a Quelle est la taille minimale, notée min d'un arbre binaire de recherche « bien construit » de hauteur h?

6.b Écrire la méthode bien_construit demandée.

corrigé