Méthode diviser pour régner

Diviser pour régner

Le diviser pour régner est une méthode algorithmique basée sur le principe suivant :

On prend un problème (généralement complexe à résoudre), on divise ce problème en une multitude de petits problèmes, l'idée étant que les "petits problèmes" seront plus simples à résoudre que le problème original. Une fois les petits problèmes résolus, on recombine les "petits problèmes résolus" afin d'obtenir la solution du problème de départ.

Le paradigme "diviser pour régner" repose donc sur 3 étapes :

• DIVISER : le problème d'origine est divisé en un certain nombre de sous-problèmes
• RÉGNER : on résout les sous-problèmes (les sous-problèmes sont plus faciles à résoudre que le problème d'origine)
• COMBINER : les solutions des sous-problèmes sont combinées afin d'obtenir la solution du problème d'origine.

Les algorithmes basés sur le paradigme "diviser pour régner" sont très souvent des algorithmes récursifs.

Nous allons maintenant étudier un de ces algorithmes basés sur le principe diviser pour régner : le tri-fusion

Tri-fusion

Nous avons déjà étudié des algorithmes de tri : le tri par insertion et le tri par sélection. Nous allons maintenant étudier une nouvelle méthode de tri, le tri-fusion. Comme pour les algorithmes déjà étudiés, cet algorithme de tri fusion prend en entrée un tableau non trié et donne en sortie, le même tableau, mais trié.

À faire vous-même 1

Étudiez cet algorithme :

TRI FUSION (tableau):
• Si tableau est de taille <= 1 on ne fait rien.
• Sinon, On sépare tableau en 2 parties gauche et droite,
• On appelle Tri fusion sur gauche et sur droite
• On fusionne gauche et droite dans tableau

FUSIONNER (`tableau`, `gauche`, `droite`):
* On parcourt les deux tableaux `gauche` et `droite` en même temps,
Pour chaque paire d'éléments, on place le plus petit dans tableau.
* S'il reste des éléments dans `gauche` ou dans `droite` on les place à la fin
de tableau		

Pour trier un tableau A, on fait l'appel initial TRI-FUSION(A, 1, A.longueur)

Rappel : Attention, en algorithmique, les indices des tableaux commencent à 1

Cet algorithme est un peu difficile à appréhender, on notera qu'il est composé de deux fonctions FUSIONNER et TRI-FUSION (fonction récursive). La fonction TRI-FUSION assure la phase "DIVISER" et la fonction FUSION assure les phases "RÉGNER" et "COMBINER".

Voici un exemple d'application de cet algorithme sur le tableau A = [23, 12, 4, 56, 35, 32, 42, 57, 3] :

À faire vous-même 2

Étudiez attentivement le schéma ci-dessous afin de mieux comprendre le principe du tri-fusion (identifiez bien les phases "DIVISER" et "COMBINER").

On remarque que dans le cas du tri-fusion, la phase "RÉGNER" se réduit à sa plus simple expression, en effet, à la fin de la phase "DIVISER", nous avons à trier des tableaux qui comportent un seul élément, ce qui est évidemment trivial.

À faire vous-même 3

Reprenez tout le raisonnement qui vient d'être fait sur le tableau T = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]. Vous n'hésiterez pas à faire un schéma et à expliquer la fusion de 2 tableaux triés.

Nous avons vu que le tri par insertion et tri par sélection ont tous les deux une complexité O(n2)

. Qu'en est-il pour le tri-fusion ?

Le calcul rigoureux de la complexité de cet algorithme sort du cadre de ce cours. Mais, en remarquant que la première phase (DIVISER) consiste à "couper" les tableaux en deux plusieurs fois de suite, intuitivement, on peut dire qu'un logarithme base 2 doit intervenir. La deuxième phase consiste à faire des comparaisons entre les premiers éléments de chaque tableau à fusionner, on peut donc supposer que pour un tableau de n éléments, on aura n comparaisons. En combinant ces 2 constations on peut donc dire que la complexité du tri-fusion est en O(n.log(n))

(encore une fois la "démonstration" proposée ici n'a rien de rigoureux).

La comparaison des courbes de la fonction n2 (en rouge) et n.log(n)

(en bleu) :

nous montre que l'algorithme de tri-fusion est plus "efficace" que l'algorithme de tri par insertion ou que l'algorithme de tri par sélection.

Présentation vidéo détaillée du tri fusion ¹

Utilisation du tri fusion:
Contrairement au tri par sélection ou par insertion, le tri fusion est réellement utilisé en pratique.
Il a de nombreux avantages :
• complexité optimale (cela ne signifie pas qu'il est le plus rapide)
• stable (voir plus bas)
• facile à mettre en œuvre
Cependant, il est possible d'améliorer la méthode :
timsort, le tri natif en Python et Javascript utilise une combinaison du tri fusion et du tri par insertion.

Exercices Diviser pour régner ²

FICHE REVISION ³

Auteur : David Roche

1. https://youtu.be/TzeBrDU-JaY
2. https://icn-isn-boissy.yj.fr/wp/2020/12/14/le-prin cipe-du-diviser-pour-regner-en-python-exercices/
3. https://pixees.fr/informatiquelycee/n_site/fiches/ T/16_Méthode diviser pour régner.pdf